把钟形曲线用在商业领域是不合适的。

—彼得·德鲁克

疯子，就是用错误前提进行正确推理的人。

—约翰·洛克

真是令人震惊：钟形曲线竟然成为风险管理工具，被监管者和穿深色西服、以乏味的方式谈论货币的中央银行人员使用。

—尼古拉斯·塔勒布

一棵树上的果子有大有小，但大部分都是中等的。河里的石子有圆有扁，但多数属于不太圆也不太扁的。巨人很少见，侏儒也很稀少，多数人是身高中等的普通人。只要样本足够多，那么这个样本群体的情况就会呈现一种规律性。但这种规律却很可能被滥用……

“数学王子”与钟形曲线

德国数学家高斯被认为是最重要的数学家，享有“数学王子”的美誉。

高斯的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，却没有接受过教育，近似于文盲。高斯的父亲曾做过园丁、工头、商人的助手等。

在整个数学史上，没有人像高斯那样早熟，比如高斯三岁时便能够纠正他父亲借债账目的事情。

高斯自己曾说，他在草堆上学会了计算。能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋。

当高斯12岁时，已经开始怀疑元素几何学中的基础证明。当他16岁时，预测在欧氏几何之外必然会产生一门完全不同的几何学，即非欧几里得几何学。高斯的传奇、奇闻异事可以写成厚厚一部故事集。

18岁时，高斯开始专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线（正态分布曲线）。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。

钟形曲线是一根两端低中间高的曲线。高斯用它来描述科学观察中量度与误差两者的分布。

在钟形曲线上，大部分观察值都积聚于中间，曲线上的极点对统计结果影响不大。比如，随机挑选1000个男人进行身高统计，他们之中接近平均值的分布最多，巨人和侏儒分布最少，这种分布就符合正态分布。自然界中的很多随机变量，可以近似地用钟形曲线来描述：

一棵苹果树上的苹果有大有小，把这些苹果一一称重，会得到一条钟形曲线。

河床上布满了鹅卵石，这些石子有圆有扁，把这些鹅卵石的曲度统计出来，也会形成一条钟形曲线。

茫茫人海，总会有几个巨人，也会有几个袖珍人，但大部分人是身高中等的普通人。

同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量、胆固醇等，呈现为正态或近似正态分布。

……

只要样本足够多，那么这个样本群体的情况就会呈现一种规律性。

数学不会错，但数学会被用错

类似这种说法你可能听说过：

“xx效应无处不在！”

“万事万物都逃不开xx法则！”

说者如此亢奋，仿佛真的发现了一条能解释宇宙万物的绝对真理。

就连高斯自己恐怕也没有想到，自己发现的钟形曲线，会被泛滥地运用到社会生活的各个方面。

前面讲过，“统计狂人”高尔顿爵士通过研究豌豆遗传和人类世代演变，联想到了均值回归理论，这个重要理论使得钟形曲线在很多情况下具有可操作性。

与高尔顿大约同时代，有个数学家叫凯特勒，他号称：“钟形曲线无处不在！”

凯特勒要把钟形曲线用在一切地方，他要把世界纳入他的平均哲学中。

凯特勒提出，人的特性均趋向于钟形曲线的均数或中数，越靠两极越少。凯特勒从统计学角度出发看人，认为人的成长会依从一套既定的法则。所以，我们可以透过统计数字，去推算一个人的发展。他还发明了通过身高体重比（bmi）来推算一个人的健康状况。

但凯特勒本人一点也不平均，甚至可以说是个偏执的工作狂。凯特勒对钟形曲线的痴迷到了走火入魔的境地，他提出了“体质平均人”的概念，通过收集统计数据，他开始制造“平均”的标准。胸围、身高、新生儿体重……很少有什么逃过他的标准。

阿道夫·凯特勒又把注意力转入社会学领域，针对人们的行为模式，提出了“气质平均人”概念。凯特勒划定了偏离平均值的范围，他眼里的正常人要么在平均值左边，要么在平均值右边，而那些站在钟形曲线极左端和极右端的人则属于另类，需要惩罚。

尼古拉斯·塔勒布在其睥睨群英的作品中，对钟形曲线进行了深入批判。当然，塔勒布并非对钟形曲线进行质疑的第一人，他只是继承了亨利·庞加莱等人的思想，而这种生搬硬套钟形曲线的方法论，也被人们称为“凯特勒谬误”。

高斯并没有错，高尔顿也没有错，“凯特勒才是思想史上最具有破坏性的人”。数学不会错，但数学会被用错，在凯特勒的“传染”下，钟形曲线得以广泛用于社会领域。

统计歧视

有人调侃，人生就像一个钟形曲线—

你5岁的时候不尿床就是成功；

10岁的时候你开始有自己的朋友就是成功；

25岁时你有自己的幸福家庭就是成功；

35岁时你依然有自己幸福的家庭就是成功；

65岁时你依然拥有好多朋友就是成功；

85岁时你不尿床就是成功。

类似这种玩笑话并无害处，但有些人却以科学之名，推销自己的思想，就变得可怕了。

凯特勒的幽灵还在徘徊，十多年前，曾有一本名为《钟形曲线》（hebellcurve）的书热闹了一阵子，该书的副标题是《美国生活中的智力和阶级结构》。

此书是美国哈佛大学心理学家理查德·j哈瑞斯坦与政治科学家查尔斯·莫瑞合作完成的。该书主要内容包括四部分：

1基于智力基础的社会分层现象日益明显。

2智商与各种社会、经济地位之间存在明显的相关性。

3iq在美国不同种族之间所形成的社会的与经济的贡献中的作用。

4这个了不起的发现对于美国的教育和社会政策会产生哪些影响。

书名之所以称作“钟形曲线”，主要是基于iq得分的钟形的正态分布。

在书中，作者以大量的智力测量结果论证，人的智力是先天遗传决定的，不同的种族具有不同的智力水平，这种观点自然会引起不少争议。这本哗众取宠的作品，为种族歧视提供了理论基础，也被种族主义者奉为宝典。

将军里面挑瘸子

ge公司前ceo杰克·韦尔奇最值得自我吹嘘的管理秘诀就是“活力曲线”，其实质是强制正态分布。

在这个钟形曲线里，韦尔奇将业绩排在前面20%的员工划为a类，中间70%的员工划为b类，业绩排在后面10%的员工划为c类。c类是必须裁掉的对象。

韦尔奇以科学的名义进行奖惩，一直以钟形曲线的法则推行末位淘汰制，从不间歇，所以叫作活力曲线。

这种绩效评估的原理，是按照事物“两头小、中间大”的正态分布规律，先确定好各等级在被评价员工总数所占的比例，然后按照每个员工绩效的优劣程度，强制列入其中的一级。

但问题是，假如低素质员工淘汰完了以后，就要在中等和优良员工里硬挑一些低素质员工来淘汰了。最极端的情形可能是“将军里面挑瘸子”。就好比满分是100分，全部成绩都在90分以上，也要把90分的那位淘汰下来。

韦尔奇很幸运，他在任的时候ge股票猛涨。但ge的成功，不代表他所有的做法都是对的。当韦尔奇成为明星经理人后，他的办法得以传播。强制钟形曲线管理法，在社会上热过一阵子后，基本上销声匿迹了。

幂率曲线

19世末，“共产主义的幽灵，在欧洲徘徊”。

此时，有一位叫帕累托的意大利经济学家发现，财富分配也是不均的。帕累托被称作“资本主义的马克思”，他指出：英格兰财富的80%，掌握在了20%的人口手里。许多其他国家和地方也是如此。帕累托由此得出一个结论：财富分配和人口结构之间，存在着一种可以估算的比率。帕累托称之为“关键少数定律”，也就是现在所谓的“二八法则”。

类似帕累托的这种财富曲线，叫作幂律（powerw）曲线。

我们再以图书销售为例，把图书的销售排名作为横轴，销售量作为纵轴，我们就会得到类似下面这个销售曲线。

幂律的典型是二八法则，实际上幂律正是从它开始的发现。意大利经济学家帕累托发现，在财富的分配上存在着幂律分布，即20%的人掌握着80%的社会财富。

有人将这一法则延伸，80%的工作由20%的人完成；或者80%的工作只产生20%的结果，反之亦然。

“二八法则”也遭遇了惊人的滥用，比如被墨索里尼拿去，为其法西斯主义作合理化解释。

分清“中庸先生”与“极端先生”

天气、豌豆的直径、身体指标等属于平均事件，是按照钟形曲线分布的（姑且称之为“中庸先生”），所以，就算这辈子你看不到一个身高为5米的家伙，也没什么值得稀奇的。

财富数量、图书销量、网站访问量等属于极端事件，遵从的是所谓的幂律曲线（姑且称之为“平均先生”）。

比如，屋子里有100个随机选取的人，世界上个子最高的人走进去之后，这些人的平均身高并不会发生太大的变化。但如果比尔·盖茨走了进去，在场所有人的平均财富将会显著增加。

如果说钟形曲线是一位性格温和的“中庸先生”的话，幂率曲线就是一位性格狂野的“极端先生”。

对自然问题，多问问“中庸先生”；对社会问题，尤其是金钱问题，“极端先生”的意见更为靠谱。

“中庸先生”信奉“天之道”，“极端先生”信奉“人之道”。

在“中庸先生”那里，充满了金色的平均主义，谁也不会比谁高出多少。

在“极端先生”那里，一个数字就足以瓦解你所有的平均值，一次亏损就可以抹平你100多年的积累。

我们唯一应记住的是：道可道，非常道。真理只能证伪，不能证实。面对这个复杂的世界，没有任何一个万能公式，更没有放之四海而皆准的教条。

钟形乌托邦

钟形曲线并非放之四海而皆准，但很多人觉得“钟形曲线无所不在”。钟形曲线为何这么受欢迎？

钟形曲线的魅力在于它分布得很对称，很和谐，很中庸，很民主，容易掌握，让人感觉是温和又可以预测的。收集了足够的数据之后，模式就会自动显现。这符合懒人的胃口，我们不妨把这种理想叫作“钟形乌托邦”。

理解幂率曲线，可以帮助我们和中庸的钟形曲线保持距离。但幂率曲线是位“极端先生”，从来就不像钟形曲线这位“中庸先生”那么受欢迎。

钟形曲线是一位温和的“中庸先生”，幂率曲线是一位狂暴的“极端先生”。

钟形曲线属于自然法则，幂率曲线属于丛林法则。